Jak rozwiązać zadanie z prędkością, drogą i czasem? Przykłady dla ucznia

Podstawy zadań z prędkością, drogą i czasem

Co oznaczają prędkość, droga i czas w zadaniach?

Zadania z prędkością, drogą i czasem opierają się na jednym, bardzo prostym związku. Obiekt (człowiek, samochód, pociąg, rowerzysta) porusza się z jakąś prędkością, pokonuje pewną drogę i zajmuje mu to określony czas. Jeśli znasz dwa z tych trzech elementów, możesz obliczyć trzeci.

W matematyce przyjmuje się najczęściej następujące oznaczenia:

• s – droga (od słowa „space”/„space” lub „spatium”), czyli długość trasy,
• v – prędkość (od ang. „velocity”), czyli szybkość poruszania się,
• t – czas (od słowa „time”).

W zadaniach tekstowych możesz też trafić na inne oznaczenia, np. d dla drogi (od ang. „distance”) lub u dla prędkości. Schemat i sposób rozwiązywania zadań z prędkością, drogą i czasem pozostaje jednak taki sam – zmienia się tylko literka.

Podstawowy wzór: s = v · t

Najważniejszy związek, który prowadzi przez wszystkie zadania tego typu, to:

s = v · t

Czyli: droga jest równa prędkości pomnożonej przez czas. Jeśli ktoś biegnie ze stałą prędkością 5 m/s przez 10 s, to:

s = 5 m/s · 10 s = 50 m

Przy stałej prędkości wystarczy więc pomnożyć prędkość przez czas, aby obliczyć długość pokonanej trasy. To jest punkt startowy do rozwiązywania praktycznie każdego zadania z prędkością, drogą i czasem.

Jak z podstawowego wzoru wyprowadzić inne przydatne wzory?

Z równania s = v · t bardzo łatwo wyliczyć inne wzory, wystarczy „przerzucić” odpowiednie wielkości na drugą stronę równania. Prowadzi to do dwóch równie ważnych związków:

• v = s : t – prędkość to droga podzielona przez czas,
• t = s : v – czas to droga podzielona przez prędkość.

To oznacza:

• jeśli znasz drogę i czas – obliczasz prędkość,
• jeśli znasz prędkość i drogę – obliczasz czas,
• jeśli znasz prędkość i czas – obliczasz drogę.

Te trzy równania są fundamentem większości typowych przykładów dla ucznia z prędkością, drogą i czasem. W kolejnych sekcjach pojawią się praktyczne sposoby, jak je stosować krok po kroku w zadaniach.

Jednostki prędkości, drogi i czasu – jak ich nie pomylić

Najczęściej używane jednostki w zadaniach szkolnych

W zadaniach z prędkością, drogą i czasem pojawiają się różne jednostki. Najczęściej spotkasz:

• Droga:
  • metry – m,
  • kilometry – km.
• Czas:
  • sekundy – s,
  • minuty – min,
  • godziny – h.
• Prędkość:
  • km/h – kilometry na godzinę,
  • m/s – metry na sekundę.

Żeby poprawnie rozwiązać zadanie z prędkością, drogą i czasem, wszystkie wielkości muszą być w ze sobą zgodnych jednostkach. Nie możesz bezpośrednio liczyć według wzoru s = v · t, gdy prędkość jest w km/h, droga w metrach, a czas w minutach – najpierw trzeba wszystko przeliczyć na tę samą „rodzinę” jednostek.

Przeliczanie czasu: minuty i sekundy na godziny

Czas podaje się bardzo często w minutach lub w połączeniu jednostek, np. „1 godzina 20 minut”, „15 minut”, „2 godziny 30 minut”. Aby użyć wzoru v = s : t, gdy prędkość jest w km/h, czas musi być w godzinach. Przydaje się kilka prostych przeliczników:

• 1 godzina = 60 minut,
• 1 minuta = 60 sekund,
• 1 godzina = 3600 sekund.

Popularne przykłady:

• 30 min = 30 : 60 h = 0,5 h,
• 15 min = 15 : 60 h = 0,25 h,
• 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h,
• 1 h 20 min = 1 h + 20 : 60 h = 1 + 1/3 h ≈ 1,33 h.

Jeżeli czas jest podany w godzinach i minutach, najpierw rozbijasz go na dwie części (godziny i minuty), a następnie minuty zamieniasz na część godziny i dodajesz.

Przeliczanie kilometrów i metrów – droga bez pułapek

W praktyce stosuje się głównie dwie jednostki drogi: metry i kilometry. Wiąże się je prostym wzorem:

• 1 km = 1000 m,
• 1 m = 0,001 km.

Zadanie:

Samochód przejechał 2500 m. Ile to kilometrów?

Rozwiązanie:

2500 m = 2500 : 1000 km = 2,5 km.

I odwrotnie:

Pociąg przejechał 3,2 km. Ile to metrów?

3,2 km = 3,2 · 1000 m = 3200 m.

Zmiana jednostek prędkości: km/h na m/s i odwrotnie

W zadaniach szkolnych pojawia się też potrzeba zamiany km/h na m/s lub odwrotnie. Wynika to z tego, że czasem droga jest podana w metrach i sekundach, a czasem w kilometrach i godzinach. Aby jednostki pasowały, trzeba przeliczać:

• 1 km/h ≈ 0,28 m/s,
• 1 m/s = 3,6 km/h.

Łatwo to wyprowadzić:

• 1 km = 1000 m,
• 1 h = 3600 s.

Zatem:

1 km/h = 1000 m / 3600 s ≈ 0,28 m/s.

Z kolei:

1 m/s = 1 m na sekundę = 1 m/s · 3600 s / 1000 m = 3,6 km/h.

W praktyce wystarczy zapamiętać:

• aby z km/h otrzymać m/s – dzielisz przez 3,6,
• aby z m/s otrzymać km/h – mnożysz przez 3,6.

Schemat rozwiązywania zadań z prędkością, drogą i czasem

Krok 1: dokładne przeczytanie treści zadania

W zadaniach tekstowych z prędkością, drogą i czasem kluczowe jest pierwsze czytanie. Trzeba wychwycić:

• co jest szukane (prędkość, droga czy czas),
• jakie dane liczbowe są podane,
• w jakich jednostkach występują dane,
• czy w zadaniu występują dwie osoby/pojazdy i czy poruszają się w tym samym, czy w przeciwnych kierunkach,
• czy pojawiają się informacje o spotkaniu, dojściu z opóźnieniem lub wcześniej.

Dobrą praktyką jest podkreślenie danych liczbowych w treści oraz zapisanie na marginesie, czego szukasz np. „szukane: v rowerzysty”.

Krok 2: zapisywanie danych i szukanej wielkości

Po pierwszym przeczytaniu opłaca się „przetłumaczyć” treść na język symboli. Przykład:

Samochód jadąc z prędkością 60 km/h, przejechał trasę w czasie 2,5 godziny. Oblicz długość trasy.

Zapis:

• v = 60 km/h,
• t = 2,5 h,
• szukane: s = ?

Taki zapis porządkuje informacje i ułatwia zauważenie, czy trzeba coś przeliczyć (jednostki) lub czy potrzebny jest dodatkowy krok.

Krok 3: wybór odpowiedniego wzoru

Wybór wzoru do zadania z prędkością, drogą i czasem sprowadza się do pytania: co znam, a czego szukam?

• znam v i t → używam s = v · t,
• znam s i t → używam v = s : t,
• znam s i v → używam t = s : v.

Jeżeli w zadaniu pojawia się więcej niż jedna osoba/pojazd, dla każdego zazwyczaj zapisuje się oddzielne równanie, np.:

• s₁ = v₁ · t₁,
• s₂ = v₂ · t₂.

Następnie łączy się te równania informacją z treści (np. „drogi są równe”, „razem pokonali 100 km”, „spotkali się po 3 godzinach”).

Krok 4: przeliczenie jednostek i podstawienie do wzoru

Zanim podłożysz dane do wzoru, sprawdź zgodność jednostek:

• przy prędkości w km/h – droga w km, czas w h,
• przy prędkości w m/s – droga w m, czas w s.

Jeśli są niezgodne, wykonaj przeliczenie. Dopiero wtedy podstawiaj liczby:

1. zapis wzoru ogólnego (np. s = v · t),
2. podstawienie konkretnych danych (np. s = 60 · 2,5),
3. obliczenie wartości liczbowej,
4. zapis jednostki przy wyniku.

Krok 5: odpowiedź z jednostką i krótkim komentarzem

Na końcu odpowiedź do zadania z prędkością, drogą i czasem powinna być pełnym zdaniem i musi zawierać jednostkę. Przykład:

Samochód przejechał trasę długości 150 km.

Albo:

Rowerzysta potrzebował 2 godzin na pokonanie tej trasy.

Brak jednostki to jeden z częstszych błędów w zadaniach tekstowych, dlatego dobrze jest ją podkreślić w momencie liczenia, a na koniec sprawdzić, czy w odpowiedzi rzeczywiście się pojawiła.

Typ 1: obliczanie drogi – przykłady krok po kroku

Prosty przykład obliczania drogi przy stałej prędkości

Przykład 1:

Rowerzysta jedzie z prędkością 18 km/h przez 2 godziny. Jaką drogę przejedzie?

Dane:

• v = 18 km/h,
• t = 2 h,
• szukane: s = ?

Jednostki są zgodne (km/h i godziny), można od razu użyć wzoru:

s = v · t

s = 18 km/h · 2 h = 36 km

Odpowiedź: Rowerzysta przejedzie 36 km.

Zadanie z przeliczeniem czasu na godziny

Przykład 2:

Samochód porusza się ze stałą prędkością 72 km/h. Ile kilometrów przejedzie w czasie 45 minut?

Dane:

• v = 72 km/h,
• t = 45 min,
• szukane: s = ?

Czas jest w minutach, a prędkość w km/h. Najpierw przeliczamy 45 minut na godziny:

t = 45 min = 45 : 60 h = 0,75 h.

Teraz:

Kontynuacja obliczeń z przykładu 2

Podstawiamy do wzoru:

s = v · t

s = 72 km/h · 0,75 h = 54 km

Odpowiedź: Samochód przejedzie 54 km.

Droga przy prędkości w m/s i czasie w sekundach

Przykład 3:

Piłkarz biegnie do piłki ze średnią prędkością 6 m/s przez 8 sekund. Jaką drogę pokona?

Dane:

• v = 6 m/s,
• t = 8 s,
• szukane: s = ?

Prędkość jest w m/s, czas w sekundach, więc jednostki pasują. Korzystamy ze wzoru:

s = v · t

s = 6 m/s · 8 s = 48 m

Odpowiedź: Piłkarz pokona 48 m.

Droga przy mieszanych jednostkach – konieczna zamiana

Przykład 4:

Biegacz biegnie z prędkością 4 m/s przez 15 minut. Oblicz, jaką drogę przebiegnie w metrach.

Dane:

• v = 4 m/s,
• t = 15 min,
• szukane: s = ?

Prędkość jest w m/s, a czas w minutach. Najpierw zamiana 15 minut na sekundy:

t = 15 min · 60 s/min = 900 s

Teraz podstawiamy do wzoru:

s = v · t

s = 4 m/s · 900 s = 3600 m

Odpowiedź: Biegacz przebiegnie 3600 m.

Typ 2: obliczanie czasu – przykłady i typowe pułapki

Czas z drogi i prędkości w tych samych jednostkach

Przykład 5:

Samochód jedzie ze stałą prędkością 80 km/h na trasie długości 200 km. Ile czasu zajmie mu przejechanie tej trasy?

Dane:

• s = 200 km,
• v = 80 km/h,
• szukane: t = ?

Jednostki są zgodne. Używamy wzoru:

t = s : v

t = 200 km : 80 km/h = 2,5 h

Można zamienić czas na godziny i minuty:

2,5 h = 2 h + 0,5 h = 2 h 30 min

Odpowiedź: Przejazd zajmie 2 godziny 30 minut.

Obliczanie czasu przy drodze w metrach i prędkości w m/s

Przykład 6:

Uczeń biegnie na lekcji WF 120 m z prędkością 5 m/s. Jaki czas zajmie mu przebiegnięcie tego dystansu?

Dane:

• s = 120 m,
• v = 5 m/s,
• szukane: t = ?

Stosujemy wzór:

t = s : v

t = 120 m : 5 m/s = 24 s

Odpowiedź: Uczeń przebiegnie ten dystans w 24 sekundy.

Czas przy potrzebie przeliczenia jednostek prędkości

Przykład 7:

Pociąg jedzie z prędkością 90 km/h i ma do pokonania 27 km. Oblicz czas przejazdu w minutach.

Dane:

• s = 27 km,
• v = 90 km/h,
• szukane: t = ?

Najpierw obliczamy czas w godzinach:

t = s : v

t = 27 km : 90 km/h = 0,3 h

Zamiana 0,3 h na minuty:

0,3 h · 60 min/h = 18 min

Odpowiedź: Przejazd zajmie 18 minut.

Łączenie godzin i minut w wyniku

Przykład 8:

Autobus przejeżdża 150 km z prędkością 60 km/h. Ile to godzin i minut?

Dane:

• s = 150 km,
• v = 60 km/h,
• szukane: t = ?

Obliczenie czasu:

t = s : v = 150 : 60 = 2,5 h

Zamiana 0,5 h na minuty:

0,5 h · 60 min/h = 30 min

t = 2 h 30 min

Odpowiedź: Autobus jedzie 2 godziny 30 minut.

Typ 3: obliczanie prędkości – jak „szybko” to jest?

Prędkość ze znanej drogi i czasu

Przykład 9:

Rowerzysta przejechał 24 km w czasie 1,5 godziny. Oblicz jego średnią prędkość.

Dane:

• s = 24 km,
• t = 1,5 h,
• szukane: v = ?

Korzystamy ze wzoru:

v = s : t

v = 24 km : 1,5 h = 16 km/h

Odpowiedź: Średnia prędkość rowerzysty wynosi 16 km/h.

Prędkość przy czasie w minutach – konieczność zamiany

Przykład 10:

Biegacz pokonał 5 km w 25 minut. Oblicz jego średnią prędkość w km/h.

Dane:

• s = 5 km,
• t = 25 min,
• szukane: v = ?

Najpierw przeliczamy czas na godziny:

t = 25 min = 25 : 60 h ≈ 0,42 h

Następnie:

v = s : t

v ≈ 5 km : 0,42 h ≈ 11,9 km/h

Odpowiedź: Średnia prędkość biegacza wynosi około 11,9 km/h.

Prędkość w m/s na podstawie drogi w metrach

Przykład 11:

Samochodzik na torze pokonał 60 m w 4 sekundy. Wyznacz jego prędkość w m/s i w km/h.

Dane:

• s = 60 m,
• t = 4 s,
• szukane: v = ?

Najpierw prędkość w m/s:

v = s : t = 60 m : 4 s = 15 m/s

Zamiana na km/h:

v = 15 m/s · 3,6 = 54 km/h

Odpowiedź: Prędkość samochodzika wynosi 15 m/s, czyli 54 km/h.

Zadania z dwoma uczestnikami ruchu

Ruch w tym samym kierunku – doganianie

W zadaniach o doganianiu jedna osoba (lub pojazd) startuje później lub jedzie szybciej i ma „do nadrobienia” pewną różnicę drogi. Kluczowa zasada:

Do dogonienia dochodzi, gdy drogi obu uczestników są równe.

Przykład 12:

Autobus wyjechał z miasta o godzinie 8:00 i jedzie z prędkością 60 km/h. Pół godziny później z tego samego miasta wyrusza samochód osobowy z prędkością 90 km/h, jadąc w tym samym kierunku. Po jakim czasie od wyjazdu samochodu dogoni on autobus?

Dane (oznaczamy czas jazdy samochodu jako t):

• v_a = 60 km/h – prędkość autobusu,
• v_s = 90 km/h – prędkość samochodu,
• opóźnienie wyjazdu samochodu: 0,5 h,
• t – czas jazdy samochodu do chwili dogonienia,
• szukane: t = ?

Autobus jedzie dłużej: jego czas jazdy to t + 0,5 h. Oznaczamy drogi:

• s_a = v_a · (t + 0,5),
• s_s = v_s · t.

W chwili dogonienia drogi są równe:

v_a · (t + 0,5) = v_s · t

Podstawiamy liczby:

60 · (t + 0,5) = 90 · t

60t + 30 = 90t

30 = 30t

t = 1 h

Samochód dogoni autobus po 1 godzinie jazdy, czyli o 9:30. Autobus będzie wtedy w drodze:

1 h + 0,5 h = 1,5 h

Odpowiedź: Samochód dogoni autobus po 1 godzinie jazdy, o godzinie 9:30.

Ruch w przeciwnych kierunkach – oddalanie się

Gdy dwie osoby lub pojazdy ruszają z tego samego miejsca w przeciwnych kierunkach, odległość między nimi rośnie. Wtedy wygodnie jest korzystać z tzw. prędkości względnej:

Prędkość względna przy ruchu w przeciwnych kierunkach to suma prędkości.

Przykład 13:

Z tej samej miejscowości jednocześnie wyjeżdżają w przeciwne strony dwa samochody. Pierwszy jedzie z prędkością 70 km/h, a drugi 50 km/h. Jaką odległość będą mieli między sobą po 2 godzinach?

Dane:

• v₁ = 70 km/h,
• v₂ = 50 km/h,
• t = 2 h,
• szukane: odległość między samochodami.

Suma dróg to:

• s₁ = v₁ · t = 70 · 2 = 140 km,
• s₂ = v₂ · t = 50 · 2 = 100 km.

Odległość między samochodami:

S = s₁ + s₂ = 140 km + 100 km = 240 km

Można też obliczyć jedną drogą, używając prędkości względnej:

v_wzgl = 70 km/h + 50 km/h = 120 km/h

S = v_wzgl · t = 120 · 2 = 240 km

Odpowiedź: Po 2 godzinach samochody będą od siebie w odległości 240 km.

Spotkanie dwóch pojazdów jadących naprzeciw siebie

Gdy dwa pojazdy ruszają z różnych miejsc i jadą ku sobie, do spotkania dochodzi wtedy, gdy suma ich dróg równa się początkowej odległości między nimi.

Przykład 14:

Dwa miasta A i B leżą w odległości 180 km. Z miasta A do B wyjeżdża samochód z prędkością 80 km/h, a z miasta B do A – drugi samochód z prędkością 40 km/h. W jakim czasie się spotkają?

Dane:

• odległość między miastami: S = 180 km,
• v₁ = 80 km/h,
• v₂ = 40 km/h,
• t – czas do spotkania,
• szukane: t = ?

Suma dróg musi być równa 180 km:

s₁ + s₂ = 180

s₁ = v₁ · t, s₂ = v₂ · t, więc:

v₁ · t + v₂ · t = 180

(v₁ + v₂) · t = 180

(80 + 40) · t = 180

120t = 180

t = 180 : 120 = 1,5 h

Odpowiedź: Samochody spotkają się po 1,5 godziny od wyjazdu, czyli po 1 godzinie 30 minutach.

Typ 4: zadania o wcześniejszym lub spóźnionym dojściu

Przyjście wcześniej dzięki większej prędkości

Zmiana prędkości a godzina przyjścia – schemat rozumowania

W zadaniach o wcześniejszym przyjściu kluczowe jest porównanie dwóch sytuacji:

• jak szedł (jechał) zwykle,
• jak szedł (jechał) tym razem.

Droga jest ta sama, zmieniają się prędkości i czasy. Najczęściej:

• podana jest różnica czasu (np. „przyszedł 10 minut wcześniej”),
• szukana jest zwykła prędkość, nowa prędkość lub długość drogi.

Przydatna obserwacja:

Im większa prędkość, tym mniejszy czas – ale iloczyn v · t dla tej samej drogi pozostaje stały.

Uczeń idzie szybciej i przychodzi wcześniej – przykład liczbowy

Przykład 15:

Uczeń chodzi do szkoły pieszo, zawsze tą samą trasą. Zwykle idzie z prędkością 4 km/h i przychodzi punktualnie na godzinę 8:00. Pewnego dnia wyszedł o tej samej porze, ale szedł szybciej – z prędkością 5 km/h – i przyszedł 6 minut przed dzwonkiem. Oblicz długość drogi z domu do szkoły.

Dane:

• v_zwykła = 4 km/h,
• v_szybciej = 5 km/h,
• różnica czasu: 6 min = 0,1 h,
• s – droga z domu do szkoły (stała),
• szukane: s = ?

Oznaczmy:

• t – zwykły czas dojścia (przy prędkości 4 km/h),
• t₁ – czas, gdy idzie szybciej (5 km/h).

Z treści zadania: przyszedł 6 minut wcześniej, więc:

t₁ = t − 0,1 h

Droga jest taka sama w obu przypadkach:

s = v_zwykła · t = 4t

s = v_szybciej · t₁ = 5(t − 0,1)

Ponieważ obie wartości równe są tej samej drodze, możemy je przyrównać:

4t = 5(t − 0,1)

Rozwiązujemy równanie:

4t = 5t − 0,5

4t − 5t = −0,5

−t = −0,5

t = 0,5 h

Zwykły czas dojścia to 0,5 h, czyli 30 minut. Obliczamy drogę:

s = 4t = 4 · 0,5 = 2 km

Odpowiedź: Droga z domu do szkoły ma długość 2 km.

Ten sam odcinek, inna prędkość – poszukiwanie zwykłego czasu

Czasami zamiast drogi szukany jest zwykły czas dojścia lub dojazdu. Wtedy korzysta się z tego samego schematu, ale inaczej wybiera niewiadomą.

Przykład 16:

Pracownik dojeżdża codziennie do pracy na rowerze. Zwykle jedzie z prędkością 18 km/h i przyjeżdża punktualnie na 7:00. Pewnego dnia zwiększył prędkość do 24 km/h i dotarł 10 minut przed czasem. Ile minut zwykle trwa jego dojazd do pracy?

Dane:

• v_zwykła = 18 km/h,
• v_szybciej = 24 km/h,
• przyspieszył przyjazd o 10 min = 1/6 h ≈ 0,1667 h,
• t – zwykły czas dojazdu,
• t₁ – czas przy większej prędkości,
• szukane: t (w minutach).

Zapisujemy zależność między czasami:

t₁ = t − 1/6 h

Droga jest stała:

s = 18t

s = 24t₁ = 24(t − 1/6)

Przyrównujemy:

18t = 24(t − 1/6)

18t = 24t − 24 · 1/6

18t = 24t − 4

18t − 24t = −4

−6t = −4

t = 4/6 h = 2/3 h

Zamiana na minuty:

t = 2/3 h · 60 min/h = 40 min

Odpowiedź: Zwykły dojazd do pracy trwa 40 minut.

Spóźnienie przez mniejszą prędkość – odwrócenie sytuacji

Zadania o spóźnieniu działają odwrotnie: ktoś idzie lub jedzie wolniej niż zwykle, więc czas jest większy.

Przykład 17:

Uczeń idzie do szkoły zawsze tą samą drogą. Zwykle porusza się z prędkością 5 km/h i dochodzi punktualnie. Pewnego dnia szedł z prędkością 4 km/h i spóźnił się o 9 minut. Oblicz długość drogi do szkoły.

Dane:

• v_zwykła = 5 km/h,
• v_wolniej = 4 km/h,
• spóźnienie: 9 min = 0,15 h,
• s – długość drogi,
• t – zwykły czas przejścia.

Tym razem przy mniejszej prędkości czas jest dłuższy:

t_wolniej = t + 0,15 h

Droga w obu przypadkach jest taka sama:

s = 5t

s = 4(t + 0,15)

Przyrównujemy:

5t = 4(t + 0,15)

5t = 4t + 0,6

5t − 4t = 0,6

t = 0,6 h

Obliczamy drogę:

s = 5t = 5 · 0,6 = 3 km

Odpowiedź: Droga do szkoły ma długość 3 km.

Spóźnienie a różnica prędkości – poszukiwanie prędkości zwykłej

Można też spotkać zadania, w których podana jest długość drogi i spóźnienie, a nie znamy prędkości zwykłej. Wtedy niewiadomą robimy z prędkości.

Przykład 18:

Trasa z domu do pracy ma długość 12 km. Zwykle kierowca jedzie z pewną stałą prędkością i przyjeżdża punktualnie. Pewnego dnia, z powodu korków, jechał z prędkością o 12 km/h mniejszą niż zwykle i spóźnił się o 15 minut. Oblicz jego zwykłą prędkość.

Dane:

• s = 12 km,
• różnica prędkości: 12 km/h,
• spóźnienie: 15 min = 0,25 h,
• v – zwykła prędkość,
• v_mniejsza = v − 12 km/h,
• t – zwykły czas dojazdu,
• t_mniejsza – czas przy mniejszej prędkości.

Zapisujemy związki:

t = s : v = 12 : v

t_mniejsza = s : (v − 12) = 12 : (v − 12)

Spóźnienie 0,25 h oznacza:

t_mniejsza = t + 0,25

Podstawiamy wyrażenia:

12 : (v − 12) = 12 : v + 0,25

Aby wygodniej liczyć, pozbywamy się ułamków, mnożąc równanie przez v(v − 12):

12v = 12(v − 12) + 0,25v(v − 12)

Najpierw upraszczamy część bez 0,25:

12v = 12v − 144 + 0,25v(v − 12)

Przenosimy 12v na lewą stronę:

12v − 12v = −144 + 0,25v(v − 12)

0 = −144 + 0,25v(v − 12)

Dodajemy 144 do obu stron:

144 = 0,25v(v − 12)

Mnożymy obie strony przez 4, aby pozbyć się 0,25:

576 = v(v − 12)

v(v − 12) = 576

v² − 12v − 576 = 0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Szukamy dwóch liczb, których iloczyn to −576, a suma to −12. Pasuje para 24 i −24:

v = 24 km/h lub v = −24 km/h

Ujemna prędkość nie ma sensu fizycznego, więc:

v = 24 km/h

Odpowiedź: Zwykła prędkość kierowcy wynosi 24 km/h.

Zadania mieszane z drogą, prędkością i czasem

Dwa odcinki trasy z różną prędkością

Często droga składa się z kilku części, po których poruszamy się z inną prędkością. Wtedy:

• droga całkowita to suma dróg cząstkowych,
• czas całkowity to suma czasów na poszczególnych odcinkach.

Przykład 19:

Wycieczka rowerowa: pierwsze 30 km rowerzysta przejechał z prędkością 20 km/h, a kolejne 10 km – z prędkością 10 km/h (zmęczył się). Oblicz średnią prędkość na całej trasie.

Dane:

• s₁ = 30 km, v₁ = 20 km/h,
• s₂ = 10 km, v₂ = 10 km/h,
• szukane: v_śr – średnia prędkość na całej trasie.

Obliczamy czas na każdym odcinku:

t₁ = s₁ : v₁ = 30 : 20 = 1,5 h

t₂ = s₂ : v₂ = 10 : 10 = 1 h

Czas całkowity:

t = t₁ + t₂ = 1,5 h + 1 h = 2,5 h

Droga całkowita:

s = s₁ + s₂ = 30 km + 10 km = 40 km

Średnia prędkość:

v_śr = s : t = 40 km : 2,5 h = 16 km/h

Odpowiedź: Średnia prędkość na całej trasie wynosi 16 km/h.

Mieszane jednostki – fragment w km, fragment w metrach

Kiedy w jednym zadaniu pojawiają się metry i kilometry, na początku dobrze jest wybrać jedne jednostki i wszystkie dane do nich dopasować.

Przykład 20:

Autobus przejechał 45 km drogą szybkiego ruchu z prędkością 90 km/h, a następnie 1500 m ulicami miasta z prędkością 30 km/h. Ile czasu spędził w podróży (w minutach)?

Dane:

• s₁ = 45 km, v₁ = 90 km/h,
• s₂ = 1500 m, v₂ = 30 km/h,
• szukane: t – czas całkowity w minutach.

Najpierw dopasowujemy jednostki drogi. Zamieniamy 1500 m na kilometry:

1500 m = 1,5 km

Liczymy czasy:

t₁ = 45 km : 90 km/h = 0,5 h

t₂ = 1,5 km : 30 km/h = 0,05 h

Czas całkowity w godzinach:

t = 0,5 h + 0,05 h = 0,55 h

Zamiana godzin na minuty:

t = 0,55 h · 60 min/h = 33 min

Odpowiedź: Cała podróż trwała 33 minuty.

Droga w dwóch etapach – jeden etap pieszo, drugi autobusem

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Jak obliczyć prędkość, jeśli znam drogę i czas?

Prędkość obliczasz ze wzoru: v = s : t, czyli prędkość to droga podzielona przez czas. Pamiętaj, że jednostki muszą do siebie pasować – jeśli droga jest w kilometrach, czas powinien być w godzinach, a jeśli droga w metrach, to czas w sekundach.

Przykład: Samochód przejechał 150 km w 3 godziny. v = 150 km : 3 h = 50 km/h.

Jak obliczyć drogę, gdy znam prędkość i czas?

Do obliczenia drogi użyjesz wzoru: s = v · t. Wystarczy pomnożyć prędkość przez czas, zachowując zgodne jednostki (np. km/h i h albo m/s i s).

Przykład: Rowerzysta jedzie z prędkością 20 km/h przez 2,5 godziny. s = 20 km/h · 2,5 h = 50 km.

Jak obliczyć czas, jeśli znam drogę i prędkość?

Czas obliczasz ze wzoru: t = s : v. Dzielisz drogę przez prędkość, pamiętając o zgodnych jednostkach. Wynik często trzeba zamienić np. z godzin na minuty.

Przykład: Samochód przejechał 120 km z prędkością 60 km/h. t = 120 km : 60 km/h = 2 h.

Jak przeliczyć km/h na m/s i odwrotnie w zadaniach z prędkością?

Aby przeliczyć km/h na m/s, dzielisz prędkość przez 3,6. Aby przeliczyć m/s na km/h, mnożysz przez 3,6. Wynika to z zależności 1 km = 1000 m oraz 1 h = 3600 s.

Przykłady:

• 72 km/h : 3,6 = 20 m/s,
• 5 m/s · 3,6 = 18 km/h.

Jak przeliczać minuty i sekundy na godziny w zadaniach?

Wzory są proste:

• 1 godzina = 60 minut,
• 1 minuta = 60 sekund,
• 1 godzina = 3600 sekund.

Aby zamienić minuty na godziny, dzielisz przez 60. Aby zamienić sekundy na godziny, dzielisz przez 3600.

Przykład: 30 minut = 30 : 60 = 0,5 h; 90 minut = 90 : 60 = 1,5 h; 1 h 20 min = 1 + 20 : 60 ≈ 1,33 h.

Jak rozwiązywać zadania tekstowe z prędkością, drogą i czasem krok po kroku?

Najprostszy schemat to:

• dokładnie przeczytaj treść i określ, co jest szukane (s, v czy t),
• wypisz dane z zadania z jednostkami,
• sprawdź i w razie potrzeby przelicz jednostki (km ↔ m, h ↔ min ↔ s),
• wybierz odpowiedni wzór (s = v · t, v = s : t, t = s : v),
• podstaw dane i oblicz wynik z jednostką,
• zapisz krótką odpowiedź całym zdaniem.

Co zrobić, gdy w zadaniu są dwie osoby lub dwa pojazdy?

Dla każdego obiektu zwykle zapisuje się osobne równanie, np. s₁ = v₁ · t₁ oraz s₂ = v₂ · t₂. Następnie wykorzystuje się informację z treści: że drogi są równe, suma dróg daje jakąś wartość albo że spotkali się po pewnym czasie.

Przykład: jeśli dwaj rowerzyści jadą naprzeciw siebie i spotykają się po 2 godzinach, to suma ich dróg spełnia zależność: s₁ + s₂ = v₁ · 2 h + v₂ · 2 h.

Wnioski w skrócie

• Zadania z prędkością, drogą i czasem zawsze opierają się na zależności między trzema wielkościami: jeśli znasz dwie, możesz obliczyć trzecią.
• Podstawowy wzór to s = v · t, z którego wynikają dwa równie ważne: v = s : t (prędkość) oraz t = s : v (czas).
• Niezależnie od oznaczeń literowych w zadaniu (s, v, t, d, u), metoda rozwiązywania jest taka sama – zmienia się tylko symbol, nie sposób liczenia.
• Aby poprawnie stosować wzory, wszystkie dane muszą być w zgodnych jednostkach (np. prędkość w km/h wymaga czasu w godzinach i drogi w kilometrach).
• Typowe przeliczenia jednostek czasu to: 1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 h = 3600 s; trzeba umieć zamieniać minuty i sekundy na części godziny.
• Dla drogi kluczowy jest przelicznik 1 km = 1000 m (i odwrotnie 1 m = 0,001 km), aby dopasować jednostki do prędkości i czasu.
• Zmiana jednostek prędkości wymaga pamiętania, że 1 km/h ≈ 0,28 m/s, a 1 m/s = 3,6 km/h, czyli: z km/h na m/s dzielimy przez 3,6, a z m/s na km/h mnożymy przez 3,6.